13, 9月 2022
如假包換這真的是素數的公式!

愚人節期間,我們哆嗒和往年一樣,發了一篇愚人節的整蠱文章《素數公式發現,所有數學之謎即將揭開》,沒想到大家和我們一起玩的很嗨,真是一個歡樂的愚人節。

文章還專門解釋了方括號[x]是取整函數,p!表示階乘,并規定0! = 1。

歡樂歸歡樂,因為愚人節的關系很少有人注意到我們貼出的公式本身是不是對的。

在這里,我們哆嗒數學網的小編負責人的說,如果只從等式兩端是否相等的角度來說,這絕對是如假包換、童叟無欺、“珍珠”都沒這么真的素數公式。整篇文章,也許就這個公式是靠譜的。

說來奇怪,按照一般人的標準課程,我們大多數人對數學中數論知識的學習都集中在小學。到了初中、高中除了一些競賽需求,幾乎不怎么學習數論了。到了大學,也只有部分專業的同學才學習初等數論。

初等數論中,有很多有趣的知識,和數數差不多,也就是我們解釋這個公式的重點。

給定一個整數x,我們把不超過x的素數的個數表示為π(x)這個函數。比如不超過6的素數有2、3、5三個,那么π(6) = 3 。 不超過11的素數有2、3、5、7、11這5個素數,于是π(11) = 5。

這個時候π(x) 還只是數數游戲的,我們需要表示成一種只有加減乘除的東西。

p是素數或1,當且僅當 (p-1)!+1是p的倍數。不止如此,當p是合數的時候(p-1)!還是p的倍數。

根據威爾遜定理,當k是合數的時候,[(k-1)!/k]是整數,所以方括號可以去掉。上面式子的值其實是[1/k]。對于正整數,值是0。

當k是素數的時候,(k-1)!/k = ((k-1)!+1)/k – 1/k,所以對右邊的方括號做一些簡單變換,可以得到整個式子是值是1。

所以當連加號的k從1跑遍j的時候,實際上是一堆1和一堆0的加總。k是素數或1的時候是1,合數的時候是0。這些1加起來正好是不超過j的素數的個數加上1,即1+π(j) 。

這是一個關于j的遞減的式子,關鍵點在j = p(n) 這一處。當j ≥ p(n)的時候π(j) ≥ n,分子小于了分母,取整后就是零了。

相反,當j p(n) 的時候π(j) n就是說π(j) ≤ n-1,這樣分母不會比n大,取整后是一個不小于1但不超過n的整數。

好了,我們都知道n的開n次根號是不小于1且嚴格小于2的。利用這個我們能得到下面的結論:

當j p(n)的時候整個連加號內部的式子(下圖式子)的值都是1,j ≥ p(n)的時候都是0。

所以當連加號的j從1開始一直的時候,實際上是連續的幾個1相加,然后到p(n)開始都是0相加。正好跑了p(n) – 1個1。

好了,對于這個公式你們想說什么呢?復雜度太高?因為它里面有階乘!矯揉造作?這個和一個一個數有什么區別?

理由也許都對!這些理由或許就是即便看上去把素數寫成了一個“簡單公式”,也對和素數有關問題的解決沒有任何幫助的原因。

不過,讀者中有第一次見這個公式的小伙伴,是不是也感到一些有趣呢——你們可以拿去繼續騙人吶!

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